PARA LOS ALUMNOS DE QUINTO GRADO (TAREA 1):
EJERCICIOS PLANO CARTESIANO COMPUESTOS Y MÚLTIPLES
PARA LOS ALUMNOS DE QUINTO GRADO (TAREA 2):
EJERCICIOS PROPUESTOS DE TRIGONOMETRÍA(30)
PARA LOS ALUMNOS DE CUARTO GRADO (TAREA 1): EJERCICIOS DE ANGULOS
PARA LOS ALUMNOS DE CUARTO GRADO (TAREA 2):
TAREA-ANGULOS 2
martes, 31 de agosto de 2010
jueves, 26 de agosto de 2010
II SEMANA MATEMÁTICA VASAU 2010
El área de matemática de la I.E. “VALLE SAGRADO” de Urubamba después de realizar con mucho éxito la I Semana Matemática, está preparando la "II SEMANA MATEMÁTICA".
Y como siempre entusiastas tanto los docentes como los alumnos queremos organizarlo bien preparando con mucha anticipación todas las actividades y materiales para el desarrollo de dicho evento. La II Semana Matemática se realizará del 25 al 29 de octubre del 2010, y será denominada “II SEMANA MATEMÁTICA VASAU 2010”.
Es por ello que iniciamos con cuatro concursos muy importantes con la participación de los alumnos de 4to y 5to de secundaria, estos concursos son denominados de la siguiente manera:
- Concurso de carteles
- Concurso de logos
- Concurso de la Fotografía Matemática “EL OJO MATEMÁTICO”
- Concurso de la Tarjeta Navideña Matemática
El cartel ganador será considerado como el cartel oficial de la “II Semana Matemática VASAU 2010” .
El logo ganador será considerado como el logo oficial de la “II Semana Matemática VASAU 2010”.
La fotografía ganadora será considerada como la fotografía oficial de la “II Semana Matemática VASAU 2010”.
y finalmente a la tarjeta navideña ganadora se le considerará como la tarjeta navideña oficial de la "II Semana Matemática".
A continuación les presentamos las bases de cada una de los concursos.
Concurso de Carteles
Bases:
* Motivo: II Semana Matemática.
* Dirigido a los alumnos de 4° Y 5° de la I.E."Valle Sagrado".
* Se presentará un cartel por participante, tamaño de cartulina A-4, los carteles deben ser originales.
* En el cartel debe aparecer el título “II Semana Matemática",” del 25 al 29 de Octubre del 2010” y el nombre I.E. "Valle Sagrado” o “VASAU”
* Los carteles se entregarán hasta el día viernes 20 de Agosto, haciendo constar en el reverso el nombre completo, grado y sección.
* La I.E.se reserva el derecho a utilizar o publicar el contenido de los carteles presentados a concurso.
* El jurado estará conformado por los docentes del Área de matemática.
* Al cartel ganador se le considerará como “El cartel oficial de la II semana Matemática”.
* El fallo del jurado será inapelable.
Concurso de Logos
Bases:
* Motivo: II Semana Matemática.
* Dirigido a los alumnos de 4° y 5° de la I.E."Valle Sagrado".
* Se presentará un logo por participante ovaladas o circulares (15 cm de diámetro); los logos deben ser originales.
* En cada logo debe aparecer el título “II Semana Matemática", y el nombre I.E. "Valle Sagrado" 2010, o VASAU 2010.
* Los logos se entregarán hasta el viernes 03 de Setiembre, haciendo constar su nombre, grado y sección.
* La I.E. se reserva el derecho a utilizar o publicar el contenido de los logos presentadas a concurso.
* El jurado estará conformado por los docentes del Área de Matemática.
* Al logo ganador se le considerará como el "El logo oficial de la II Semana Matemática”.
* El fallo del jurado será inapelable.
Concurso de la Fotografía Matemática "OJO MATEMÁTICO"
Bases:
•Motivo: II semana Matemática – las matemáticas en el reino vegetal.
•Dirigido a los alumnos de 4° y 5° de la I.E. "Valle Sagrado".
•Se presentará una fotografía por participante en formato digital y en formato papel tamaño 10cmx15cm. Las fotografías deben ser originales.
•Las fotografías se entregarán hasta el 17 de Setiembre, haciendo constar en un documento Word el nombre completo del autor, grado y sección, el título de la fotografía, ubicación así como enumerar los principales elementos matemáticos presentes en la fotografía.
•La I.E. se reserva el derecho a utilizar o publicar las fotografías presentadas a concurso.
•El jurado estará formado por docentes del área de Matemática.
•A la fotografía ganadora se le considerará como la "Fotografía Matemática de la II Semana Matemática".
•Las fotografías participantes serán expuestas durante la realización de la II Semana Matemática.
•El fallo del jurado será inapelable.
Concurso de Tarjetas Navideñas"
Bases:
Motivo: II Semana Matemática.
Dirigido a los alumnos de 4° y 5° grado de secundaria de la I.E."Valle Sagrado".
Se presentará una tarjeta por participante. Las tarjetas deben ser originales a tamaño A4 y pueden ser a varios colores.
En la Tarjeta debe aparecer I.E. "Valle Sagrado" o VASAU, el año 2010 como resultado de una expresión matemática (por ejemplo poner 2•1000+2•5 en lugar de 2010). Cualquier motivo relacionado con las matemáticas, y por supuesto motivos navideños.
Las tarjetas se entregarán hasta el martes 28 de setiembre del 2010 constar en la parte posterior de la tarjeta el nombre completo, grado y sección.
La I.E. se reserva el derecho a utilizar o publicar el contenido de las tarjetas presentadas a concurso.
El jurado estará conformado por los docentes del área de Matemática.
Las tarjetas finalistas serán expuestas en la II semana Matemática.
A la tarjeta navideña ganadora se le considerará como “La tarjeta navideña oficial de la II semana Matemática”.
El fallo del jurado será inapelable.
viernes, 30 de julio de 2010
LIBROS DE MATEMÁTICA RECREATIVA
"Un matemático que no tiene también algo de poeta nunca será un matemático completo." (Karl Weierstrass)
TE PRESENTAMOS ALGUNOS LIBROS PARA QUE AL LEERLOS LOS DISFRUTES.
Las Aventuras Matematicas De Daniel
Alicia en el pais de las maravillas
El Diablo de Los Números
El Hombre Que Calculaba
Matemática para Divertirse
OTR0S RECOMENDAD0S:
TE PRESENTAMOS ALGUNOS LIBROS PARA QUE AL LEERLOS LOS DISFRUTES.
Las Aventuras Matematicas De Daniel
Alicia en el pais de las maravillas
El Diablo de Los Números
El Hombre Que Calculaba
Matemática para Divertirse
OTR0S RECOMENDAD0S:
lunes, 7 de septiembre de 2009
RESULTADOS DE LA VI OLIMPIADA MATEMATICA
El día 28 de agosto se realizó la segunda fase de las Olimpiadas Matemáticas a nivel de la Provincia de Urubamba, con los siguientes resultados:
NIVEL 1:
Primer Lugar :
Carlos Mario BANDERA QUISPE
I.E. "VALLE SAGRADO"
NIVEL 3:
Primer Lugar :
María Helen ARQQUE LEON (Quinto Grado)
I.E. "VALLE SAGRADO"
Segundo Lugar :
Shiomara Anahi ECHEGARAY PELAEZ (Quinto Grado)
I.E. "VALLE SAGRADO"
FELICITACIONES A ESTOS ALUMNO QUE DEJARON EN ALTO EL NOMBRE DEL COLEGIO Y QUE SIGAN ESTUDIANDO
miércoles, 2 de septiembre de 2009
I SEMANA MATEMATICA VASAU 2009
I SEMANA MATEMÁTICA
El área de matemática de la I.E. “VALLE SAGRADO” de Urubamba se entusiasmó por organizar una Semana Matemática en la que todos pudiéramos descubrir que las matemáticas se encuentran en muchos otros lugares además de estar en las pizarras y en los libros.Queremos organizarlo bien, y para eso será indispensable la participación de los profesores de las diversas áreas para darles a las matemáticas una visión mucho más amplia de la usual.
La Semana Matemática se realizará del 26 al 30 de octubre del 2009, y será denominada “I SEMANA MATEMÁTICA VASAU 2009”.
Es por ello que iniciamos con tres concursos muy importantes con la participación de los alumnos de 4to y 5to de secundaria, estos concursos son denominados de la siguiente manera:
- Concurso de carteles
- Concurso de logos
- Concurso de la Fotografía Matemática “EL OJO MATEMÁTICO”
El cartel ganador será considerado como el cartel oficial de la “I Semana Matemática VASAU 2009” .
El logo ganador será considerado como el logo oficial de la “I semana Matemática VASAU 2009”.
y a la fotografía ganadora será considerada como la fotografía oficial de la “I semana Matemática VASAU 2009”.
A continuación les presentamos las bases de cada una de los concursos.
Concurso de Carteles
Bases:
* Motivo: I Semana Matemática.
* Dirigido a los alumnos de 4° Y 5° de la I.E."Valle Sagrado".
* Se presentará un cartel por participante, tamaño de cartulina A-4, los carteles deben ser originales.
* En el cartel debe aparecer el título “I Semana Matemática”, “Octubre del 2009” y el nombre I.E. "Valle Sagrado” o “VASAU”
* Los carteles se entregarán hasta del 21 de Agosto, haciendo constar en el reverso el nombre completo, grado y sección.
* La I.E.se reserva el derecho a utilizar o publicar el contenido de los carteles presentados a concurso.
* El jurado estará conformado por los docentes del Área de matemática.
* Al cartel ganador se le considerará como “El cartel oficial de la I semana Matemática”.
* El fallo del jurado será inapelable.
Concurso de Logos
Bases:
* Motivo: I Semana Matemática.
* Dirigido a los alumnos de 4° y 5° de la I.E."Valle Sagrado".
* Se presentará un logo por participante ovaladas o circulares (15 cm de diámetro); los logos deben ser originales.
* En cada logo debe aparecer el título “I Semana Matemática", y el nombre I.E. "Valle Sagrado" 2009, o VASAU 2009.
* Los logos se entregarán hasta el 04 de Setiembre, haciendo constar su nombre, grado y sección.
* La I.E. se reserva el derecho a utilizar o publicar el contenido de los logos presentadas a concurso.
* El jurado estará conformado por los docentes del Área de Matemática.
* Al logo ganador se le considerará como el "El logo oficial de la I Semana Matemática”.
* El fallo del jurado será inapelable.
Concurso de Fotografía MATEMÁTICA
EL OJO MATEMÁTICO
Bases:
· Motivo: I semana Matemática – las matemáticas en el reino vegetal.
· Dirigido a los alumnos de 4° y 5° de la I.E. "Valle Sagrado".
· Se presentará una fotografía por participante en formato digital y en formato papel tamaño 10cmx15cm. Las fotografías deben ser originales.
· Las fotografías se entregarán hasta el 11 de Setiembre, haciendo constar en un papel el nombre completo del autor, grado y sección, el título de la fotografía, así como enumerar los principales elementos matemáticos presentes en la fotografía.
· La I.E. se reserva el derecho a utilizar o publicar las fotografías presentadas a concurso.
· El jurado estará formado por docentes del área de Matemática.
· A la fotografía ganadora se le considerará como la "Fotografía Matemática de la I Semana Matemática".
· Las fotografías participantes serán expuestas durante la realización de la I Semana Matemática. · El fallo del jurado será inapelable.
¡ SUERTE Y QUE TOMES BUENAS FOTOS !
CARTEL GANADOR
MITZY RIOS QUILCA 4°DE SECUNDARIA
LOGO GANADOR
CRISTIAN TICONA 4°DE SECUNDARIA
FOTOGRAFÍA MATEMÁTICA GANADORA
JAC CARBAJAL ESPINOZA 5°DE SECUNDARIA
ELABORACIÓN DE MATERIALES Y EJECUCIÓN DE LA "I SEMANA MATEMÁTICA VASAU 2009"
La primera semana de setiembre se elaboraron materiales, aquí observarás algunas de las fotografías:
FOTOS ELABORACIÓN DE MATERIALES
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Del 26 al 30 de octubre se realizó la I Semana Matemática VASAU 2010", aquí observarás algunas de las fotografías: :
FOTOS DE LA I SEMANA MATEMÁTICA
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VIDEOS DE LA I SEMANA MATEMÁTICA
ELABORACIÓN DE LÁPIDAS PARA EL CEMENTERIO MATEMÁTICO
ELABORACIÓN DE CARROS PARA LOS ATASCOS
ELABORACIÓN DE JUEGOS MATEMÁTICOS
ELABORACIÓN DEL KHIPU
MATERIALES TERMINADOS
INAUGURACIÓN
miércoles, 19 de agosto de 2009
ARTICULO MATEMATICO
Todos saben que los ordenadores son aparatos muy prácticos. Tanto, que se han vuelto indispensables en el funcionamiento de una sociedad moderna.
Pero hasta los informáticos han olvidado —exagero, pero sólo un poco—que fueron inventados para que ayudasen a aclarar una cuestión filosófica concerniente a los fundamentos de la matemática. ¿Sorprendente?
Sí, en verdad.Comienza esta asombrosa historia con David Hilbert, un célebre matemático alemán, que a principios del siglo XX propuso la formalización completa de todo el razonamiento matemático. Pero resultó que era imposible formalizar el razonamiento matemático, por lo que, en cierto sentido, su Idea fue un tremendo fracaso. Mas, en otro sentido, tuvo un gran éxito, porque el formalismo ha sido uno de los grandes dones que nos ha hecho el siglo XX. No para el razonamiento o la deducción matemática, sino para la programación, para el cálculo, para la computación. Una pieza olvidada de la historia intelectual.
Me propongo referir aquí esa historia sin detenerme en los detalles de índole matemática.
Será, pues, imposible explicar plenamente la obra de quienes hicieron las aportaciones fundamentales, entre ellos Bertrand Russell, Kurt Gödel y Alan Turing. Aun así, el lector paciente debería poder captar la esencia de sus argumentos y comprender en qué se inspiraron algunas de mis propias ideas sobre la aleatoriedad inherente a la matemática.
Pero hasta los informáticos han olvidado —exagero, pero sólo un poco—que fueron inventados para que ayudasen a aclarar una cuestión filosófica concerniente a los fundamentos de la matemática. ¿Sorprendente?
Sí, en verdad.Comienza esta asombrosa historia con David Hilbert, un célebre matemático alemán, que a principios del siglo XX propuso la formalización completa de todo el razonamiento matemático. Pero resultó que era imposible formalizar el razonamiento matemático, por lo que, en cierto sentido, su Idea fue un tremendo fracaso. Mas, en otro sentido, tuvo un gran éxito, porque el formalismo ha sido uno de los grandes dones que nos ha hecho el siglo XX. No para el razonamiento o la deducción matemática, sino para la programación, para el cálculo, para la computación. Una pieza olvidada de la historia intelectual.
Me propongo referir aquí esa historia sin detenerme en los detalles de índole matemática.
Será, pues, imposible explicar plenamente la obra de quienes hicieron las aportaciones fundamentales, entre ellos Bertrand Russell, Kurt Gödel y Alan Turing. Aun así, el lector paciente debería poder captar la esencia de sus argumentos y comprender en qué se inspiraron algunas de mis propias ideas sobre la aleatoriedad inherente a la matemática.
Voy a empezar con Bertrand Russell, matemático que al pasar el tiempo se tornaría filósofo, primero, y por último, humanista. Russell constituye una figura clave porque descubrió algunas paradojas muy perturbadoras en la lógica misma. Es decir, halló casos en los que razonamientos en apariencia impecables conducen a contradicciones.
Las aportaciones de Russell fueron fundamentales para que se difundiese la idea de que estas contradicciones causaban Ordenadores, paradojas y fundamentos de las matemáticas Grandes pensadores del siglo XX han demostrado que la incompletitud y la aleatoriedad medran incluso en el mundo austero de la matemática Gregory J. Chaitin 28 INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, julio, 2003 una crisis grave y habían de ser resueltas de algún modo.
Las paradojas que Russell descubrió atrajeron mucho la atención en los círculos matemáticos, pero, curiosamente, tan sólo una de ellas acabó llevando su nombre. Consideremos el conjunto de todos los conjuntos que no son un elemento de sí mismos. Preguntemos entonces: “¿Es este conjunto elemento de sí mismo?”.
Si fuera elemento de sí mismo, no lo sería, y recíprocamente. El conjunto de todos los conjuntos mencionados en la paradoja de Russell encuentra un símil en el barbero de un pueblo pequeño y apartado: el barbero rasura a todos los hombres que no se afeitan ellos mismos. Tal descripción parece francamente razonable hasta que se pregunta: “¿Se afeita el barbero a sí mismo?”. Se afeita a sí mismo si, y solamente si, no se afeita a sí mismo. Desde luego, se podría decir: “¿Y a quién le importa ese hipotético barbero? ¡Todo eso no es más que un absurdo juego de alabras!”. Pero cuando lo que se está dilucidando es el concepto matemático de conjunto, no resulta tan fácil dejar de lado un problema lógico.
La paradoja de Russell es un eco, en la teoría de conjuntos, de otra paradoja muy anterior, ya conocida por los antiguos griegos. A menudo se la llama paradoja de Epiménides, o paradoja del mentiroso. Se dice que Epiménides exclamó: “¡Esta aseveración es falsa!”.
¿Lo es? Si su aseveración es falsa, ha de ser verdadera.
Pero, si es verdadera, es falsa. Así que, cual-INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, julio, 2003 29
Las aportaciones de Russell fueron fundamentales para que se difundiese la idea de que estas contradicciones causaban Ordenadores, paradojas y fundamentos de las matemáticas Grandes pensadores del siglo XX han demostrado que la incompletitud y la aleatoriedad medran incluso en el mundo austero de la matemática Gregory J. Chaitin 28 INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, julio, 2003 una crisis grave y habían de ser resueltas de algún modo.
Las paradojas que Russell descubrió atrajeron mucho la atención en los círculos matemáticos, pero, curiosamente, tan sólo una de ellas acabó llevando su nombre. Consideremos el conjunto de todos los conjuntos que no son un elemento de sí mismos. Preguntemos entonces: “¿Es este conjunto elemento de sí mismo?”.
Si fuera elemento de sí mismo, no lo sería, y recíprocamente. El conjunto de todos los conjuntos mencionados en la paradoja de Russell encuentra un símil en el barbero de un pueblo pequeño y apartado: el barbero rasura a todos los hombres que no se afeitan ellos mismos. Tal descripción parece francamente razonable hasta que se pregunta: “¿Se afeita el barbero a sí mismo?”. Se afeita a sí mismo si, y solamente si, no se afeita a sí mismo. Desde luego, se podría decir: “¿Y a quién le importa ese hipotético barbero? ¡Todo eso no es más que un absurdo juego de alabras!”. Pero cuando lo que se está dilucidando es el concepto matemático de conjunto, no resulta tan fácil dejar de lado un problema lógico.
La paradoja de Russell es un eco, en la teoría de conjuntos, de otra paradoja muy anterior, ya conocida por los antiguos griegos. A menudo se la llama paradoja de Epiménides, o paradoja del mentiroso. Se dice que Epiménides exclamó: “¡Esta aseveración es falsa!”.
¿Lo es? Si su aseveración es falsa, ha de ser verdadera.
Pero, si es verdadera, es falsa. Así que, cual-INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, julio, 2003 29
PARADOJAS MATEMATICOS
PARADOJAS
El término paradoja viene del griego (para y doxos) y significa "más allá de lo cre¡ble". En la actualidad la palabra "paradoja" tiene numerosos significados:
1) Afirmación que parece falsa, aunque en realidad es verdadera.
El término paradoja viene del griego (para y doxos) y significa "más allá de lo cre¡ble". En la actualidad la palabra "paradoja" tiene numerosos significados:
1) Afirmación que parece falsa, aunque en realidad es verdadera.
2) Afirmación que parece verdadera, pero en realidad es falsa.
3) Cadena de razonamientos aparentemente impecables, que conducen sin embargo a contradicciones lógicas. (Las paradojas de esta clase suelen llamarse falacias.)
4) Declaración cuya veracidad o falsedad es indecible. 5) Verdad que se vuelve patas arriba para llamar la atención.
Las paradojas matemáticas, como las científicas, pueden ser mucho más que amenidades, y llevarnos hasta nociones muy profundas. A los primeros pensadores griegos les resultaba tan paradógico como insoportable que la diagonal de un cuadrado de lado unidad no pudiera ser medida exactamente por finas que se hicieran las graduaciones de la regla. Este hecho perturbador sirvió para abrir el vasto dominio de los números irracionales. Los matemáticos del siglo pasado encontraban enormemente paradógico que todos los miembros de un conjunto infinito puedan ponerse en correspondencia biunívoca con los miembros de algún subconjunto del dado, mientras por otra parte podían existir conjuntos infinitos entre los cuales es imposible establecer una correspondencia biunívoca. Tales paradojas condujeron a desarrollar la moderna teoría de conjuntos, que a su vez ha ejercido profunda influencia sobre la filosofía de la ciencia. Mucho podemos aprender de las paradojas. Al igual que los buenos trucos de ilusionismo, nos causan tanto asombro que inmediatamente queremos saber como se han hecho. Los ilusionistas no revelan jamás como hacen lo que hacen, pero los matemáticos no tienen necesidad de guardar el secreto.
Las paradojas no sólo plantean cuestiones, sino que también pueden responderlas.
1. LA PARADOJA DEL MENTIROSO. Se atribuye a Epiménides haber afirmado: "Todos los cretenses son mentirosos". Sabiendo que él mismo era cretense, ¿decía Epiménides la verdad?
2. UN ENUNCIADO Y SU CONTRARIO. "Esta frase consta de siete palabras." Está claro que su enunciado es falso, ya que consta de seis. Por tanto, su contrario debería ser verdadero. ¿Es esto correcto?
3. LOS TRES ENUNCIADOS FALSOS. Tenemos aquí tres enunciados falsos. ¿Será capaz Vd. de descubrir cuáles? 1. 2+2=4 2. 3x6=17 3. 8/4=2 4. 13-6=5 5. 5+4=9
4. APROBARÁ EL EXAMEN. El siguiente relato ocurrió en un examen oral. PROFESOR: De las siete preguntas de que consta el examen, ya te has equivocado en tres preguntas, y sólo nos queda una. Tu aprobado o suspenso depende completamente de si aciertas o no la próxima pregunta. ¿Te das cuenta? ALUMNO: Sí. Me doy cuenta. PROFESOR: El estar nervioso no te ayudará. ALUMNO: Ya lo sé. Trataré de tranquilizarme. PROFESOR: Y esta es la pregunta. Recuerda: todo depende de si contestas esto bien o mal. ALUMNO: Sí, sí, ¡ya lo sé! PROFESOR: La pregunta es ésta: ¿Aprobarás este examen? ALUMNO: ¿Cómo voy a saberlo? PROFESOR: Eso no es una respuesta. Debes darme una respuesta clara, sí o no. Si contestas bien, aprobarás; si no, suspenderás. ¡Así de simple! La cuestión no le parecía nada simple al alumno. La verdad es que cuanto más pensaba en ello más confuso se sentía. Y de repente cayó en la cuenta de algo muy interesante. Si contestaba una cosa, el profesor tendría la posibilidad de aprobarle o suspenderle, como más le complaciera. Si contestaba lo otro, sería imposible que el profesor le aprobara o le suspendiera sin contradecir sus propias reglas. Como el alumno tenía más interés en no suspender que en aprobar, eligió la segunda alternativa, y contestó de una manera que confundió por completo al profesor. ¿Qué respuesta dio?
5. UNA DE LAS DOS. He aquí dos afirmaciones. Una de ellas es falsa. ¿Cuál?
6. ERRORES. En éste se cometen tres errores. París es la capital de Francia. Dos más dos es igual a cinco. América fue descubierta en 1.492. ¿Cuáles son los errores?
7. HORRORES. En éste se cometen dos errores. Roma es la capital de Italia. Dos por dos es igual a cinco. Hillary escalé el Everest. ¿Cuáles son los errores?
8. PARADOJA MECÁNICA. ¿Por qué los camiones que transportan leche de vaca son una paradoja mecánica?
9. PARADOJA TEMPORAL. Un español en 1.987 llamó por teléfono a otro que se encontraba en 1.986, y le dijo: - Mañana te telefonearé de nuevo. - De acuerdo. ¡Hasta mañana! ¿Podría darse esta situación un tanto paradójica en la vida real?.
Las paradojas matemáticas, como las científicas, pueden ser mucho más que amenidades, y llevarnos hasta nociones muy profundas. A los primeros pensadores griegos les resultaba tan paradógico como insoportable que la diagonal de un cuadrado de lado unidad no pudiera ser medida exactamente por finas que se hicieran las graduaciones de la regla. Este hecho perturbador sirvió para abrir el vasto dominio de los números irracionales. Los matemáticos del siglo pasado encontraban enormemente paradógico que todos los miembros de un conjunto infinito puedan ponerse en correspondencia biunívoca con los miembros de algún subconjunto del dado, mientras por otra parte podían existir conjuntos infinitos entre los cuales es imposible establecer una correspondencia biunívoca. Tales paradojas condujeron a desarrollar la moderna teoría de conjuntos, que a su vez ha ejercido profunda influencia sobre la filosofía de la ciencia. Mucho podemos aprender de las paradojas. Al igual que los buenos trucos de ilusionismo, nos causan tanto asombro que inmediatamente queremos saber como se han hecho. Los ilusionistas no revelan jamás como hacen lo que hacen, pero los matemáticos no tienen necesidad de guardar el secreto.
Las paradojas no sólo plantean cuestiones, sino que también pueden responderlas.
1. LA PARADOJA DEL MENTIROSO. Se atribuye a Epiménides haber afirmado: "Todos los cretenses son mentirosos". Sabiendo que él mismo era cretense, ¿decía Epiménides la verdad?
2. UN ENUNCIADO Y SU CONTRARIO. "Esta frase consta de siete palabras." Está claro que su enunciado es falso, ya que consta de seis. Por tanto, su contrario debería ser verdadero. ¿Es esto correcto?
3. LOS TRES ENUNCIADOS FALSOS. Tenemos aquí tres enunciados falsos. ¿Será capaz Vd. de descubrir cuáles? 1. 2+2=4 2. 3x6=17 3. 8/4=2 4. 13-6=5 5. 5+4=9
4. APROBARÁ EL EXAMEN. El siguiente relato ocurrió en un examen oral. PROFESOR: De las siete preguntas de que consta el examen, ya te has equivocado en tres preguntas, y sólo nos queda una. Tu aprobado o suspenso depende completamente de si aciertas o no la próxima pregunta. ¿Te das cuenta? ALUMNO: Sí. Me doy cuenta. PROFESOR: El estar nervioso no te ayudará. ALUMNO: Ya lo sé. Trataré de tranquilizarme. PROFESOR: Y esta es la pregunta. Recuerda: todo depende de si contestas esto bien o mal. ALUMNO: Sí, sí, ¡ya lo sé! PROFESOR: La pregunta es ésta: ¿Aprobarás este examen? ALUMNO: ¿Cómo voy a saberlo? PROFESOR: Eso no es una respuesta. Debes darme una respuesta clara, sí o no. Si contestas bien, aprobarás; si no, suspenderás. ¡Así de simple! La cuestión no le parecía nada simple al alumno. La verdad es que cuanto más pensaba en ello más confuso se sentía. Y de repente cayó en la cuenta de algo muy interesante. Si contestaba una cosa, el profesor tendría la posibilidad de aprobarle o suspenderle, como más le complaciera. Si contestaba lo otro, sería imposible que el profesor le aprobara o le suspendiera sin contradecir sus propias reglas. Como el alumno tenía más interés en no suspender que en aprobar, eligió la segunda alternativa, y contestó de una manera que confundió por completo al profesor. ¿Qué respuesta dio?
5. UNA DE LAS DOS. He aquí dos afirmaciones. Una de ellas es falsa. ¿Cuál?
6. ERRORES. En éste se cometen tres errores. París es la capital de Francia. Dos más dos es igual a cinco. América fue descubierta en 1.492. ¿Cuáles son los errores?
7. HORRORES. En éste se cometen dos errores. Roma es la capital de Italia. Dos por dos es igual a cinco. Hillary escalé el Everest. ¿Cuáles son los errores?
8. PARADOJA MECÁNICA. ¿Por qué los camiones que transportan leche de vaca son una paradoja mecánica?
9. PARADOJA TEMPORAL. Un español en 1.987 llamó por teléfono a otro que se encontraba en 1.986, y le dijo: - Mañana te telefonearé de nuevo. - De acuerdo. ¡Hasta mañana! ¿Podría darse esta situación un tanto paradójica en la vida real?.
SOLUCIONES DE PARADOJAS
1. LA PARADOJA DEL MENTIROSO.
2. UN ENUNCIADO Y SU CONTRARIO. ¡Es falso! La oración contraria: "Esta frase no consta de siete palabras." está formada exactamente por siete palabras. ¿Cómo resolver estos raros dilemas?
3. LOS TRES ENUNCIADOS FALSOS. Únicamente son falsos los enunciados 2 y 4. Por tanto, la afirmación de hay tres enunciados falsos es falsa. Tenemos así el tercero de los enunciados falsos. ¿No es verdad?
4. APROBARÁ EL EXAMEN. Supongamos que contestara que sí. En este caso el profesor podría suspenderle o aprobarle, como prefiriese. Si le suspendía y el alumno preguntaba por qué, el profesor podría decir "Contestaste mal la última pregunta, después de todo dijiste que ibas a aprobar y no fue así, y como la última pregunta estaba mal, tienes que suspender". Pero el profesor podría igualmente aprobarle y decir "Dijiste que aprobarías, y como ha sido así, tenías razón, así que contestaste bien la última pregunta, y por eso apruebas". Desde luego los dos razonamientos son circulares, pero ninguno de los dos es peor que el otro. En cambio, si el alumno contestara que no, el profesor no podría ni suspenderle ni aprobarle. Si le aprobaba, el alumno habría contestado mal y habría suspendido. Si le suspendía, el alumno habría contestado bien y habría aprobado. Así que el profesor no podía ni aprobarle ni suspenderle. Como el alumno tenía más interés en no suspender que en aprobar, contestó "No" y fastidió al profesor por completo.
5. UNA DE LAS DOS. La primera es cierta: hay dos afirmaciones, ella misma y la segunda. ¿Y la otra? Si fuese falsa, ella misma habría de decir que no hay ninguna falsa (al ser falsa) y si fuese verdadera, ¿dónde está la falsa? Por lo que nos introducimos en una clara contradicción.
6. ERRORES. Hay dos errores; uno es la frase que dice «Dos más dos es igual a cinco». El otro es: «En este acertijo se cometen tres errores».
7. HORRORES. Se trata de una paradoja. Si suponemos que el único error es «Dos por dos es igual a cinco», entonces la primera frase debe ser correcta; pero no puede serlo, porque afirma que los errores son dos. Y si suponemos que los errores son, efectivamente, dos, la primera frase debe estar equivocada; pero no puede estarlo, porque afirma precisamente que los errores son tantos como supusimos. Luego este acertijo no tiene solución lógica.
8. PARADOJA MECÁNICA. Porque cuánta más leche llevan, más despacio van.
9. PARADOJA TEMPORAL. Por paradójica que parezca es posible con la condición de que el primer español se encuentre en la Península y el otro en las Islas Canarias y que la llamada se realice en la Península después de las 12 de la noche del 31 de diciembre y antes de la una de la madrugada del día 1 de enero.
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