Todos saben que los ordenadores son aparatos muy prácticos. Tanto, que se han vuelto indispensables en el funcionamiento de una sociedad moderna.
Pero hasta los informáticos han olvidado —exagero, pero sólo un poco—que fueron inventados para que ayudasen a aclarar una cuestión filosófica concerniente a los fundamentos de la matemática. ¿Sorprendente?
Sí, en verdad.Comienza esta asombrosa historia con David Hilbert, un célebre matemático alemán, que a principios del siglo XX propuso la formalización completa de todo el razonamiento matemático. Pero resultó que era imposible formalizar el razonamiento matemático, por lo que, en cierto sentido, su Idea fue un tremendo fracaso. Mas, en otro sentido, tuvo un gran éxito, porque el formalismo ha sido uno de los grandes dones que nos ha hecho el siglo XX. No para el razonamiento o la deducción matemática, sino para la programación, para el cálculo, para la computación. Una pieza olvidada de la historia intelectual.
Me propongo referir aquí esa historia sin detenerme en los detalles de índole matemática.
Será, pues, imposible explicar plenamente la obra de quienes hicieron las aportaciones fundamentales, entre ellos Bertrand Russell, Kurt Gödel y Alan Turing. Aun así, el lector paciente debería poder captar la esencia de sus argumentos y comprender en qué se inspiraron algunas de mis propias ideas sobre la aleatoriedad inherente a la matemática.
Pero hasta los informáticos han olvidado —exagero, pero sólo un poco—que fueron inventados para que ayudasen a aclarar una cuestión filosófica concerniente a los fundamentos de la matemática. ¿Sorprendente?
Sí, en verdad.Comienza esta asombrosa historia con David Hilbert, un célebre matemático alemán, que a principios del siglo XX propuso la formalización completa de todo el razonamiento matemático. Pero resultó que era imposible formalizar el razonamiento matemático, por lo que, en cierto sentido, su Idea fue un tremendo fracaso. Mas, en otro sentido, tuvo un gran éxito, porque el formalismo ha sido uno de los grandes dones que nos ha hecho el siglo XX. No para el razonamiento o la deducción matemática, sino para la programación, para el cálculo, para la computación. Una pieza olvidada de la historia intelectual.
Me propongo referir aquí esa historia sin detenerme en los detalles de índole matemática.
Será, pues, imposible explicar plenamente la obra de quienes hicieron las aportaciones fundamentales, entre ellos Bertrand Russell, Kurt Gödel y Alan Turing. Aun así, el lector paciente debería poder captar la esencia de sus argumentos y comprender en qué se inspiraron algunas de mis propias ideas sobre la aleatoriedad inherente a la matemática.
Voy a empezar con Bertrand Russell, matemático que al pasar el tiempo se tornaría filósofo, primero, y por último, humanista. Russell constituye una figura clave porque descubrió algunas paradojas muy perturbadoras en la lógica misma. Es decir, halló casos en los que razonamientos en apariencia impecables conducen a contradicciones.
Las aportaciones de Russell fueron fundamentales para que se difundiese la idea de que estas contradicciones causaban Ordenadores, paradojas y fundamentos de las matemáticas Grandes pensadores del siglo XX han demostrado que la incompletitud y la aleatoriedad medran incluso en el mundo austero de la matemática Gregory J. Chaitin 28 INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, julio, 2003 una crisis grave y habían de ser resueltas de algún modo.
Las paradojas que Russell descubrió atrajeron mucho la atención en los círculos matemáticos, pero, curiosamente, tan sólo una de ellas acabó llevando su nombre. Consideremos el conjunto de todos los conjuntos que no son un elemento de sí mismos. Preguntemos entonces: “¿Es este conjunto elemento de sí mismo?”.
Si fuera elemento de sí mismo, no lo sería, y recíprocamente. El conjunto de todos los conjuntos mencionados en la paradoja de Russell encuentra un símil en el barbero de un pueblo pequeño y apartado: el barbero rasura a todos los hombres que no se afeitan ellos mismos. Tal descripción parece francamente razonable hasta que se pregunta: “¿Se afeita el barbero a sí mismo?”. Se afeita a sí mismo si, y solamente si, no se afeita a sí mismo. Desde luego, se podría decir: “¿Y a quién le importa ese hipotético barbero? ¡Todo eso no es más que un absurdo juego de alabras!”. Pero cuando lo que se está dilucidando es el concepto matemático de conjunto, no resulta tan fácil dejar de lado un problema lógico.
La paradoja de Russell es un eco, en la teoría de conjuntos, de otra paradoja muy anterior, ya conocida por los antiguos griegos. A menudo se la llama paradoja de Epiménides, o paradoja del mentiroso. Se dice que Epiménides exclamó: “¡Esta aseveración es falsa!”.
¿Lo es? Si su aseveración es falsa, ha de ser verdadera.
Pero, si es verdadera, es falsa. Así que, cual-INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, julio, 2003 29
Las aportaciones de Russell fueron fundamentales para que se difundiese la idea de que estas contradicciones causaban Ordenadores, paradojas y fundamentos de las matemáticas Grandes pensadores del siglo XX han demostrado que la incompletitud y la aleatoriedad medran incluso en el mundo austero de la matemática Gregory J. Chaitin 28 INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, julio, 2003 una crisis grave y habían de ser resueltas de algún modo.
Las paradojas que Russell descubrió atrajeron mucho la atención en los círculos matemáticos, pero, curiosamente, tan sólo una de ellas acabó llevando su nombre. Consideremos el conjunto de todos los conjuntos que no son un elemento de sí mismos. Preguntemos entonces: “¿Es este conjunto elemento de sí mismo?”.
Si fuera elemento de sí mismo, no lo sería, y recíprocamente. El conjunto de todos los conjuntos mencionados en la paradoja de Russell encuentra un símil en el barbero de un pueblo pequeño y apartado: el barbero rasura a todos los hombres que no se afeitan ellos mismos. Tal descripción parece francamente razonable hasta que se pregunta: “¿Se afeita el barbero a sí mismo?”. Se afeita a sí mismo si, y solamente si, no se afeita a sí mismo. Desde luego, se podría decir: “¿Y a quién le importa ese hipotético barbero? ¡Todo eso no es más que un absurdo juego de alabras!”. Pero cuando lo que se está dilucidando es el concepto matemático de conjunto, no resulta tan fácil dejar de lado un problema lógico.
La paradoja de Russell es un eco, en la teoría de conjuntos, de otra paradoja muy anterior, ya conocida por los antiguos griegos. A menudo se la llama paradoja de Epiménides, o paradoja del mentiroso. Se dice que Epiménides exclamó: “¡Esta aseveración es falsa!”.
¿Lo es? Si su aseveración es falsa, ha de ser verdadera.
Pero, si es verdadera, es falsa. Así que, cual-INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, julio, 2003 29
