El término paradoja viene del griego (para y doxos) y significa "más allá de lo cre¡ble". En la actualidad la palabra "paradoja" tiene numerosos significados:
1) Afirmación que parece falsa, aunque en realidad es verdadera.
Las paradojas matemáticas, como las científicas, pueden ser mucho más que amenidades, y llevarnos hasta nociones muy profundas. A los primeros pensadores griegos les resultaba tan paradógico como insoportable que la diagonal de un cuadrado de lado unidad no pudiera ser medida exactamente por finas que se hicieran las graduaciones de la regla. Este hecho perturbador sirvió para abrir el vasto dominio de los números irracionales. Los matemáticos del siglo pasado encontraban enormemente paradógico que todos los miembros de un conjunto infinito puedan ponerse en correspondencia biunívoca con los miembros de algún subconjunto del dado, mientras por otra parte podían existir conjuntos infinitos entre los cuales es imposible establecer una correspondencia biunívoca. Tales paradojas condujeron a desarrollar la moderna teoría de conjuntos, que a su vez ha ejercido profunda influencia sobre la filosofía de la ciencia. Mucho podemos aprender de las paradojas. Al igual que los buenos trucos de ilusionismo, nos causan tanto asombro que inmediatamente queremos saber como se han hecho. Los ilusionistas no revelan jamás como hacen lo que hacen, pero los matemáticos no tienen necesidad de guardar el secreto.
Las paradojas no sólo plantean cuestiones, sino que también pueden responderlas.
1. LA PARADOJA DEL MENTIROSO. Se atribuye a Epiménides haber afirmado: "Todos los cretenses son mentirosos". Sabiendo que él mismo era cretense, ¿decía Epiménides la verdad?
2. UN ENUNCIADO Y SU CONTRARIO. "Esta frase consta de siete palabras." Está claro que su enunciado es falso, ya que consta de seis. Por tanto, su contrario debería ser verdadero. ¿Es esto correcto?
3. LOS TRES ENUNCIADOS FALSOS. Tenemos aquí tres enunciados falsos. ¿Será capaz Vd. de descubrir cuáles? 1. 2+2=4 2. 3x6=17 3. 8/4=2 4. 13-6=5 5. 5+4=9
4. APROBARÁ EL EXAMEN. El siguiente relato ocurrió en un examen oral. PROFESOR: De las siete preguntas de que consta el examen, ya te has equivocado en tres preguntas, y sólo nos queda una. Tu aprobado o suspenso depende completamente de si aciertas o no la próxima pregunta. ¿Te das cuenta? ALUMNO: Sí. Me doy cuenta. PROFESOR: El estar nervioso no te ayudará. ALUMNO: Ya lo sé. Trataré de tranquilizarme. PROFESOR: Y esta es la pregunta. Recuerda: todo depende de si contestas esto bien o mal. ALUMNO: Sí, sí, ¡ya lo sé! PROFESOR: La pregunta es ésta: ¿Aprobarás este examen? ALUMNO: ¿Cómo voy a saberlo? PROFESOR: Eso no es una respuesta. Debes darme una respuesta clara, sí o no. Si contestas bien, aprobarás; si no, suspenderás. ¡Así de simple! La cuestión no le parecía nada simple al alumno. La verdad es que cuanto más pensaba en ello más confuso se sentía. Y de repente cayó en la cuenta de algo muy interesante. Si contestaba una cosa, el profesor tendría la posibilidad de aprobarle o suspenderle, como más le complaciera. Si contestaba lo otro, sería imposible que el profesor le aprobara o le suspendiera sin contradecir sus propias reglas. Como el alumno tenía más interés en no suspender que en aprobar, eligió la segunda alternativa, y contestó de una manera que confundió por completo al profesor. ¿Qué respuesta dio?
5. UNA DE LAS DOS. He aquí dos afirmaciones. Una de ellas es falsa. ¿Cuál?
6. ERRORES. En éste se cometen tres errores. París es la capital de Francia. Dos más dos es igual a cinco. América fue descubierta en 1.492. ¿Cuáles son los errores?
7. HORRORES. En éste se cometen dos errores. Roma es la capital de Italia. Dos por dos es igual a cinco. Hillary escalé el Everest. ¿Cuáles son los errores?
8. PARADOJA MECÁNICA. ¿Por qué los camiones que transportan leche de vaca son una paradoja mecánica?
9. PARADOJA TEMPORAL. Un español en 1.987 llamó por teléfono a otro que se encontraba en 1.986, y le dijo: - Mañana te telefonearé de nuevo. - De acuerdo. ¡Hasta mañana! ¿Podría darse esta situación un tanto paradójica en la vida real?.
1. LA PARADOJA DEL MENTIROSO.
2. UN ENUNCIADO Y SU CONTRARIO. ¡Es falso! La oración contraria: "Esta frase no consta de siete palabras." está formada exactamente por siete palabras. ¿Cómo resolver estos raros dilemas?
3. LOS TRES ENUNCIADOS FALSOS. Únicamente son falsos los enunciados 2 y 4. Por tanto, la afirmación de hay tres enunciados falsos es falsa. Tenemos así el tercero de los enunciados falsos. ¿No es verdad?
4. APROBARÁ EL EXAMEN. Supongamos que contestara que sí. En este caso el profesor podría suspenderle o aprobarle, como prefiriese. Si le suspendía y el alumno preguntaba por qué, el profesor podría decir "Contestaste mal la última pregunta, después de todo dijiste que ibas a aprobar y no fue así, y como la última pregunta estaba mal, tienes que suspender". Pero el profesor podría igualmente aprobarle y decir "Dijiste que aprobarías, y como ha sido así, tenías razón, así que contestaste bien la última pregunta, y por eso apruebas". Desde luego los dos razonamientos son circulares, pero ninguno de los dos es peor que el otro. En cambio, si el alumno contestara que no, el profesor no podría ni suspenderle ni aprobarle. Si le aprobaba, el alumno habría contestado mal y habría suspendido. Si le suspendía, el alumno habría contestado bien y habría aprobado. Así que el profesor no podía ni aprobarle ni suspenderle. Como el alumno tenía más interés en no suspender que en aprobar, contestó "No" y fastidió al profesor por completo.
5. UNA DE LAS DOS. La primera es cierta: hay dos afirmaciones, ella misma y la segunda. ¿Y la otra? Si fuese falsa, ella misma habría de decir que no hay ninguna falsa (al ser falsa) y si fuese verdadera, ¿dónde está la falsa? Por lo que nos introducimos en una clara contradicción.
6. ERRORES. Hay dos errores; uno es la frase que dice «Dos más dos es igual a cinco». El otro es: «En este acertijo se cometen tres errores».
7. HORRORES. Se trata de una paradoja. Si suponemos que el único error es «Dos por dos es igual a cinco», entonces la primera frase debe ser correcta; pero no puede serlo, porque afirma que los errores son dos. Y si suponemos que los errores son, efectivamente, dos, la primera frase debe estar equivocada; pero no puede estarlo, porque afirma precisamente que los errores son tantos como supusimos. Luego este acertijo no tiene solución lógica.
8. PARADOJA MECÁNICA. Porque cuánta más leche llevan, más despacio van.
9. PARADOJA TEMPORAL. Por paradójica que parezca es posible con la condición de que el primer español se encuentre en la Península y el otro en las Islas Canarias y que la llamada se realice en la Península después de las 12 de la noche del 31 de diciembre y antes de la una de la madrugada del día 1 de enero.
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